3ra Semana

Teorema de Bayes

El matemático y reverendo Thomas Bayes, (1763) en el siglo XVIII intentó desarrollar una fórmula para evaluar la probabilidad de la existencia de Dios con base en evidencias terrenales. Más tarde fue Laplace quien terminó su desarrollo denominándolo "Teorema de Bayes"

Este teorema se aplica cuando se formulan hipótesis a posteriori sobre la probabilidad a priori de eventos ya ocurridos.

La fórmula general aplicable es:

 Este teorema establece, que si sucede cierto evento, que depende de la ocurrencia de los eventos A o B o C correspondientes a un conjunto de sucesos mutuamente excluyentes, la probabilidad de que B haya ocurrido a consecuencia de A, lo cual lo expresamos: P(A|B) corresponda al producto de las probabilidades individuales del evento A y del evento B, dividido por la probabilidad alternativa del evento B con respecto a cada uno de los eventos independientes de A, B y C.

La fórmula está dada en el caso que utilicemos las letras A, B y C.

Ejemplo 1. Volvamos a nuestro ejemplo de las 4 máquinas A, B, C y D. Por especificaciones y control conocemos la capacidad de producción de cada máquina, durante un determinado (1 hora) así: A. una producción de 600; B, de 400; C, de 300, y D, de 700 unidades, es decir en términos porcentuales A produce el 30%, B el 20%, C el 15%, y D el 35%.

Mediante un proceso de observación se ha detectado que el porcentaje de unidades defectuosas producidas por cada una de las máquinas es del 4%, 3%, 6% y 5%, respectivamente. Si procedemos a sacar un elemento del total del lote examinado. ¿cuál es la probabilidad de que haya sido producida por la máquina A, o por la máquina B, o por la máquina C o por la máquina D?

Solución:

Aplicaremos la fórmula general, dada inicialmente y no la segunda expresión.

Sabemos que la  P(A1) = 30   P(A2) = 0,20    P(A3) = 0,15   P(A4) = 0,35

Son las probabilidades independientes de A1, A2, A3, y A4 respectivamente.

Siendo: P(B|A1) = 0,04;  P(B|A2)= 0,03;  P(B|A3) = 0,06;  P(B|A4) = 0,05


Podemos calcular:

P(A1)P(B|A1) = 0,30 (0,04) = 0,012;                P(A2)P(B|A2) = 0,20 (0,03) = 0,006

P(A3)P(B|A3) = 0,15 (0,06) = 0,009;                P(A4)P(B|A4) = 0,35 (0,05) = 0,0175


La suma de las probabilidades será = 0,12 + 0,006 + 0,009 + 0,0175 = 0.0445

Para calcular la probabilidad de que la unidad defectuosa haya sido producida por cada una de las 4 máquinas, utilizamos la fórmula de Bayes, así:

Ejemplo 2. Se tiene 3 recipientes: la primera contiene 6 bolas azules y 2 rojas; la segunda 4 azules y 4 rojas y la tercera 6 azules. Se selecciona una de las 3 urnas al azar y de ella se extrae una bola que resulta ser azul. Con la anterior información ¿cuál es la probabilidad de que el recipiente escogido sea el primero? ¿sea el tercero?

Solución: 


 P(A1) = 1/3   P(A2) = 1/3    P(A3) = 1/3

P(A1)P(B|A1) = 6/8 = 3/4               P(A2)P(B|A2) = 4/8 = 1/2   P(A3)P(B|A3) = 6/6 = 1


La probabilidad de que la bola azul provenga del primer recipiente será:

La probabilidad de que provenga del tercer recipiente