Cont 1ra Semana

Posibilidades y Probabilidades

Técnicas de Conteo

El principio fundamental en el proceso de contar ofrece un método general para contar el numero de posibles arreglos de objetos dentro de un solo conjunto o entre varios conjuntos. Las técnicas de conteo son aquellas que son usadas para enumerar eventos difíciles de cuantificar.

Diagrama de árbol

Un diagrama de árbol es una herramienta que se utiliza para determinar todos los posibles resultados de un experimento aleatorio. En el cálculo de muchas probabilidades se requiere conocer el número de objetos que forman parte del espacio muestral, estos se pueden determinar con la construcción de un diagrama de árbol.

El diagrama de árbol es una representación gráfica de los posibles resultados del experimento, el cual consta de una serie de pasos, donde cada uno de estos tiene un número finito de maneras de ser llevado a cabo. Se utiliza en los problemas de conteo y probabilidad.

Para la construcción de un diagrama en árbol se partirá poniendo una rama para cada una de las posibilidades, acompañada de su probabilidad. Cada una de estas ramas se conoce como rama de primera generación.

Principio de la multiplicación

Si una operación se puede efectuar de n₁ maneras y para cada una de ellas se puede efectuar una segunda operación de n₂maneras y así sucesivamente hasta la operación n_r, entonces el número de maneras en que el proceso puede realizarse será el producto

n₁ n₂...n_r.

Ejemplo 2. 1. Dos viajeros llegan a una ciudad en la que hay 3 hoteles ¿De cuántas maneras pueden hospedarse si cada uno debe estar en un hotel diferente?

Solución.

El primer viajero puede seleccionar cualquiera de los 3 hoteles y el segundo viajero tendrá 2 hoteles para escoger, ya que debe de estar en uno diferente, por lo que el número de formas en que pueden hospedarse los 2 viajeros en los 3 hoteles será (3) (2) = 6.

Si deseamos resolver este problema mediante el diagrama del árbol, representamos los hoteles como H₁, H₂ y H₃. Entonces tendremos:

Permutación

Son eventos de tipo multiplicativo, donde el número de posibilidades va disminuyendo y si importa el orden una permutación es un arreglo de un conjunto de objetos en un orden definido. El número de permutaciones diferentes de estos objetos es; esto se ve fácilmente si pensamos que para la primera alternativa disponemos de los elementos del conjunto, cada uno de los cuales puede complementarse con los restantes como segunda opción, y así hasta llegar a la última elección, conformando el producto.

El número de permutaciones posibles al tomar objetos del conjunto de elementos será, siguiendo el mismo razonamiento.

Por ejemplo:


¿De cuántas maneras distintas los 52 miembros de un sindicato pueden elegir un director, un subdirector, un secretario y un tesorero?


Por principio multiplicativo:

Dado que n1 = 52, n2 = 51, n3 = 50 y n4 = 49 (sin importar al funcionario que se elija en primero, segundo, tercero o cuarto lugar), hay un total de 52*51*50*49= 6.497.400

Por fórmula 

n= 52    r=4

Combinación

Son eventos similares a las permutaciones. Pero el orden ya no importa y es necesario eliminar de las permutaciones aquellas donde los elementos se repiten aunque con distinto orden

Una combinación es una selección de objetos sin importar el orden en que se escojan:

Por ejemplo:

En una clase de 35 alumnos se quiere elegir un comité formado por tres alumnos. ¿Cuántos comités diferentes se pueden formar?

Solución: 

No entran todos los elementos.

No importa el orden: Juan, Ana.

No se repiten los elementos.